今天，我们要说的是第三点：

一些特殊情况下的期望回报

下面两张表显示了特殊情况中的期望回报。

第一张图表示的是听牌失败时的期望回报，用上一篇文章的例子来计算：

对手的期望回报是你的期望回报的负数，再加上已经在底池中的$100。

他会得到你在下注轮的净损失+现有底池。当然如果你赢下底池的话，你的净损失是– $100，他没有回报。

来看看最简单的情况：当你的期望回报是0时，你的筹码量不会发生变化，因此你不会赢下底池，底池会被对手赢走。由于我们已经玩到河牌圈，所以这不是一个零和博弈。

如果你知道什么时候诈唬，什么时候价值下注，而对手却不知道，对他来说(也可能是对你)，下面的这个图表会更有用。

这张表显示的是综合获胜和失败之后，你的期望回报。我们假设过，你有20%的时候领先，80%的时候落后，因此你的平均期望回报是 qEw + (1 – q)El。(这个结果的负值+底池现有的$100=对手的期望回报Eop。)

结论

当你面对优秀的对手时，最好的选择就是利用纳什均衡点为你提供的策略：xopt。在这种情况对手会用 yopt的策略打牌。如果他没有使用，他就在犯错(也说明他不是一个优秀的玩家)，你就可以利用他的错误找到最佳的打法。

如果他经常跟注，你就少诈唬，如果他很少跟注，你就多诈唬。如果你能猜到他的跟注频率，就可以根据期望回报最大化的原则，计算自己应该诈唬的频率。

附录

◆◆yopt是怎样计算的◆◆

如果y = yopt，无论x是多少，你的期望回报都不会改变。让我们先假设x = 0，这时你什么牌也赢不了，公式是：

El = 0

现在假设x = 1，El的公式变为

El = (1 – yopt)P – yoptB

因为x=0和x=1时的期望回报一样，所以

(1 – yopt)P – yoptB = 0,

所以

    (1 – yopt)P = yoptB,

    P – yoptP = yoptB,

    P = yopt(P + B), 

最后

yopt = P/(P + B)

◆◆从对手的角度来看◆◆

现在我们从对手的视角看看这个问题。

首先我们要列出他的期望回报Eop。由于他不知道你的牌是领先还是落后，所以他的期望回报还会受到q的影响，所以这个公式会复杂一点：

Eop = – qyB + q(1 – y)0 + (1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P]

– qyB 表示你有优胜牌，你下注，他跟注，并且输了。

q(1 – y)0表示你有优胜牌，但是他弃牌，没有输赢。

(1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P]是他领先时的情况。

方括号中xy(P + B)表示你诈唬，他跟注，他赢得底池和你的下注。

 x(1 – y)0 表示你诈唬，他弃牌，没有盈利和损失。

(1 – x)P表示你弃牌，他赢下底池的情况(包括他过牌赢下摊牌和他下注你弃牌两种情况)

省略其中为0的部分，我们得到

Eop = (1 – q)[xy(P + B) + (1 – x)P] – qyB

如果对手知道你从不诈唬(x = 0)，那他的最佳打法是什么？他永远不会跟注，在上面的公式中如果用0代替x，我们得到

Eop x=0 = (1 – q)P– qyB

为了使结果最大化，我们必须让y = 0 (永远不跟注)。

反过来，如果对手知道你总是诈唬(x = 1)，那他就很难找到最佳应对方式了。如果x = 1，我们得到

Eop x=1 = (1 – q)y(P + B) – qyB = y[(1 – q)(P + B) – qB]

如果

(1 – q)(P + B) – qB > 0,

y = 1 (总是跟注)会让对手的期望回报最大化。

如果

(1 – q)(P + B) – qB < 0,

他就应该使用 y = 0 (永远不跟注)的策略。

(1 – q)(P + B) – qB < 0

意味着

    (1 – q)(P + B) < qB,

    P + B – qP – qB < qB,

    P + B < q(P + 2B), 

最后

q > (P + B)/(P + 2B)

在我们的例子中，P = B = $100，如果q > 2/3，对手应该永不跟注(即使他知道你总是下注;因此在这种情况中你总是应该诈唬)， 当q < 2/3时，他应该总是跟注(如果他知道你总是诈唬)。记住，这个q的值也仅取决于底池大小和下注大小。

◆◆xopt是怎么计算的？◆◆

如果x = xopt，那么无论y是多少，对手的期望回报都不会改变。和之前一样，先假设y = 0。Eop的公式为

Eop = (1 – q)(1 – xopt)P

现在假设y = 1，我们得到

Eop = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB

因为y=0和y=1时的Eop一样，我们得到

(1 – q)(1 – xopt)P = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB,

因此

qB = (1 – q) xopt (P + B)

(两边都有(1 – q)(1 – xopt)P，因此可以消掉)，所以最终我们得到

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)]

当我们讨论频率时，我们通常用 0.2代替20%，用0.5代替50%等等。一件不可能的事件发生的可能性是0 (0%)，一件确定的事发生的可能性是1 (100%)。剩下的其他事件发生的可能性在0和1之间。